OSSD知识点——真的是帕斯卡三角形吗？

　　真的是帕斯卡三角形吗？大家都熟知我们古代的科举制度是封建社会选举人才最重要的方式，主要涉及到政治和语文，难道我们在古代就只学这两门吗？当然不是，其实中国是世界文明古国之一。数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌。根据它本身的，可以分为五个时期：(1)先秦萌芽时期；(2)汉唐奠基时期；(3)宋元全盛时期；(4)西学输入时期；(5)近现代数学发展时期。

　　唐代以来一些数学著作的失传，大概是五代十国分裂战乱所造成的文化后果。到了宋代，雕版印数的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期（公元960-1368），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。商业的繁荣、手工业的兴盛以及由此引起的技术进步（四大发明中有三项—指南针、火药和活字印刷是在宋代完成并获得广泛应用），给数学的发展带来新的活力。这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，他的主要贡献是创造了”贾宪三角’和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》(1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”(如下图）。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

　　在OSSD的MDM4U这门学科当中，我们也学习到了这个知识点，我们就学习到了这个知识点，并且用比较简单易懂的方法总结了另外的形式就如下图

　　我们会发现一些规律，难易都有。

　　1.每个数等于它上方两数之和。

　　2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

　　3.第n行的数字有n项。

　　4.前n行共[(1+n)n]/2 个数。

　　5.第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

　　6.第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。

　　7.每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

　　8.(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

　　9.将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

　　10.将第n行的数字分别乘以10^（m-1），其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11^（n-1）。11^0=1，11^1=1x10^0+1×10^1=11，11^2=1×10^0+2x10^1+1x10^2=121，11^3=1x10^0+3×10^1+3x10^2+1x10^3=1331，11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=14641，11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1×10^5=161051。

　　11.第n行数字的和为2^（n-1）。1=2^（1-1），1+1=2^（2-1），1+2+1=2^（3-1），1+3+3+1=2^（4-1），1+4+6+4+1=2^（5-1），1+5+10+10+5+1=2^（6-1）。

　　12.斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。1+1=2，1+1+1=3，1+1+1+1=4，1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+3=4，1+3+6=10，1+4=5。

　　13.将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1，1，1+1=2，2+1=3，1+3+1=5，3+4+1=8，1+6+5+1=13，4+10+6+1=21，1+10+15+7+1=34，5+20+21+8+1=55。

　　其实总结了这些规律，我在想，如果当初的宋朝像如今这样信息发达，会不会在欧洲所有人都会叫它杨辉三角而不是帕斯卡三角形了呢？

　　下面给大家留了一个小练习，不知道你能否用刚刚学过的知识解决出来呢？